设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量尼不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

admin2019-07-10 65

问题设n维列向量α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，向量尼不可由α₁，α₂，α₃线性表示，则对任意常数k，必有( )．

选项 A、α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性无关
B、α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性相关
C、α₁，α₂，α₃，β₁＋kβ₂线性无关
D、α₁，α₂，α₃，β₁＋kβ₂线性相关

答案A

解析设有一组数字λ₁，λ₂，λ₃，λ₄，满足λ₁α₁＋λ₂α₂＋λ₃α₃＋λ₄(kβ₁＋β₂)＝0，
若λ₄＝0，则有条件λ₁＝λ₂＝λ₃＝0，从而推出α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性无关．
若λ₄≠0，则kβ₁＋β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，而β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，故β₂也可由α₁，α₂，α₃线性表示，矛盾，所以，λ₄＝0，从而A正确．对于其余三个选项，也可用排除法．
当k＝0时，可排除B、C；当k＝1时，可排除D．
故应选A．

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考研数学三

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