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  3. 设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．

设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．

admin2018-07-27  29
问题 设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．
选项
答案(AB)T=BTAT=BA=AB，故AB也是实对称矩阵．因A正定，有正定阵S，使A=S2．于是 S－1(AB)S=S－1SSBS=SBS=STBS 由B正定，知STBS正定，故STBS的特征值全大于0，故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0，因此AB正定．
解析
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考研数学三

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