设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

admin2018-07-27 39

问题设λ₁、λ_n分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X₁，X_n分别为对应于λ₁、λ_n的特征向量，记
f(X)=X^TAX／X^TX，X∈Rⁿ，X≠0
证明：二次型f(X)=X^TAX在X^TX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

选项

答案设λ_n为A的最大特征值，X_n为对应的单位特征向量，即有AX_n=λ_nX_n，X_n^TX_n=1．在X^TX=1条件下，可知，X^TAX≤λ_n，又X_n^TAX_n=X_n^Tλ_nX_n=λ_nX_n^TX_n=λ_n，故[*]X^TAX=λ_n=f(X_n)．类似可证[*]X^TAx=λ₁=f(X₁)，其中λ₁为A的最小特征值，X₁为对应的单位特征向量．

解析

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考研数学三

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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

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设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是

设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

病人，男性，55岁，TURP术后2h，行持续膀胱冲洗通畅，冲出液呈淡血性，主诉下腹部胀痛难忍，血压16/10kPa，脉搏80次/分，呼吸21次/分，下列护理哪项正确（）

下列属于静态报表的是()。

设备、管道的绝热按用途可分为(　　)等类型。

根据《注册建造师管理规定》，在下列情形中，不予注册的情形包括()。

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设α＝，A＝ααT，求｜6E－An｜．

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设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是

设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

病人，男性，55岁，TURP术后2h，行持续膀胱冲洗通畅，冲出液呈淡血性，主诉下腹部胀痛难忍，血压16/10kPa，脉搏80次/分，呼吸21次/分，下列护理哪项正确（）

下列属于静态报表的是()。

设备、管道的绝热按用途可分为( )等类型。

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设备、管道的绝热按用途可分为(　　)等类型。