设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

admin2018-07-27 68

问题设λ₁、λ_n分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X₁，X_n分别为对应于λ₁、λ_n的特征向量，记
f(X)=X^TAX／X^TX，X∈Rⁿ，X≠0
证明：二次型f(X)=X^TAX在X^TX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

选项

答案设λ_n为A的最大特征值，X_n为对应的单位特征向量，即有AX_n=λ_nX_n，X_n^TX_n=1．在X^TX=1条件下，可知，X^TAX≤λ_n，又X_n^TAX_n=X_n^Tλ_nX_n=λ_nX_n^TX_n=λ_n，故[*]X^TAX=λ_n=f(X_n)．类似可证[*]X^TAx=λ₁=f(X₁)，其中λ₁为A的最小特征值，X₁为对应的单位特征向量．

解析

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考研数学三

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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

考研数学三

设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是

设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．

证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

若向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，试问α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

患者，女，35岁。病人每于经间期出血，出血量多，色红质黏，无血块，神疲乏力，骨节酸楚，胸闷烦躁，纳食减少，小便短少，夜寐不熟，便干尿黄，舌红苔黄腻，脉细弦。治疗应首选（　　）。

甲乙两公司在交易过程中，乙公司向甲公司签发了票面金额为50万元的汇票一张，付款人为丙银行。后乙公司因经营不善，被法院宣告破产。随后甲公司向丙银行申请付款，则下列做法正确的是()。

简述福勒等人提出的教师成长的三个阶段。

学生作为学习的主体因素，会从两个方面影响学与教的过程，一方面是群体差异，一方面是个体差异。下列因素中，属于个体差异因素的是()。

设当x→0时，(x-sinx)ln(1+x)是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n为()．

母に________、ほんとうに悲しかった。

TheLondonUndergroundMapTheLondonUndergroundmapisextremelywelldesigned.Simple,easytounderstandand【76】(ATTRACT

Thenation’smurderratedeclinedlastyearforthefirsttimeinfouryears,droppingtothelowestlevelin40years.Experts

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设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．

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设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，若AB=E，证明B的列向量线性无关．

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