2. 考研
  3. 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

admin2018-07-27  93
问题 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记
f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0
证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．
选项
答案设λn为A的最大特征值，Xn为对应的单位特征向量，即有AXn=λnXn，XnTXn=1．在XTX=1条件下，可知，XTAX≤λn，又XnTAXn=XnTλnXn=λnXnTXn=λn，故[*]XTAX=λn=f(Xn)．类似可证[*]XTAx=λ1=f(X1)，其中λ1为A的最小特征值，X1为对应的单位特征向量．
解析
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考研数学三

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