设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

admin2018-07-27 105

问题设λ₁、λ_n分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X₁，X_n分别为对应于λ₁、λ_n的特征向量，记
f(X)=X^TAX／X^TX，X∈Rⁿ，X≠0
证明：二次型f(X)=X^TAX在X^TX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

选项

答案设λ_n为A的最大特征值，X_n为对应的单位特征向量，即有AX_n=λ_nX_n，X_n^TX_n=1．在X^TX=1条件下，可知，X^TAX≤λ_n，又X_n^TAX_n=X_n^Tλ_nX_n=λ_nX_n^TX_n=λ_n，故[*]X^TAX=λ_n=f(X_n)．类似可证[*]X^TAx=λ₁=f(X₁)，其中λ₁为A的最小特征值，X₁为对应的单位特征向量．

解析

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考研数学三

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设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

考研数学三

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是

设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

证明n维列向量α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)．

肾病综合征首选()有明显浮肿可用()

最普遍采用的国内生产总值的机制方法是按______计算的。()

在建设阶段,开发商的主要任务转变方向不包括()。

(　　)是招标投标工作成果的最终体现。

下列关于地震设防城市的道路规划设计表述，错误的是()

企业常用的培训模式有()。

《幼儿园教师专业标准(试行)》的基本理念包括()。

开展E-mail营销的基础之一是拥有潜在用户的(41)。

设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0 证明：二次型f(X)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值．

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