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设可导函数y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的,求函数y=y(x)的极值.
设可导函数y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的,求函数y=y(x)的极值.
admin
2020-05-02
24
问题
设可导函数y=y(x)是由方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1确定的,求函数y=y(x)的极值.
选项
答案
方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1两端对x求导,得 6y
2
y′-4yy′+2y+2xy′-2x=0 整理,得 (6y
2
-4y+2x)y′+2(y-x)=0 (*) 令y′0,代入上式得y-x=0,即y=x.将其代入原方程,得 2x
3
-x
2
-1=0, 即(x-1)(2x
2
+x+1)=0 由方程2x
2
+x+1=0无实根推知,x=1是函数y=y(x)的唯一驻点.将x=1代入原方程得y
3
-y
2
+y=1,即(y-1)(y
2
+1)=0,从而解得y=1.式(*)两端对x再求导,得 (12yy′-4y′+2)y′+(6y
2
-4y+2x)y"+2(y′-1)=0 将x=1,y=1,y′(1)=0代入上式,得 (6-4+2)y"|-2=0 从而有[*]故隐函数y=y(x)在x=1处取得极小值,且极小值为y(1)=1,没有极大值.
解析
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考研数学一
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