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设二维随机变量(U,V)一N(2,2;4,1;),记X=U一bV,Y=V. (I)问当常数b为何值时,X与Y独立? (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
设二维随机变量(U,V)一N(2,2;4,1;),记X=U一bV,Y=V. (I)问当常数b为何值时,X与Y独立? (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
admin
2019-05-14
44
问题
设二维随机变量(U,V)一N(2,2;4,1;
),记X=U一bV,Y=V.
(I)问当常数b为何值时,X与Y独立?
(Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
选项
答案
(I)由于X=U一bV,Y=V且[*]=1≠0,故(X,Y)服从一维正态分布,所以X与Y独立等价于X与Y不相关,即Cov(X,Y)=0,从而有 Cov(U—bV,V)=0,Cov(U,V)一bDV=0,即[*]一b·1=0, 解得b=1,即当b=1时,X与Y独立. (Ⅱ)由正态分布的性质知X=U—V服从正态分布,且 EX=EU—EV=2—2=0. DX=D(U—V)=DU+DV一2Cov(U,V)=4+1—2·[*]=3, 所以X~N(0,3),同理Y=V~N(2,1). 又因为X与Y独立,故 [*]
解析
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考研数学一
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