设二维随机变量(U，V)一N(2，2；4，1；)，记X＝U一bV，Y＝V． (I)问当常数b为何值时，X与Y独立? (Ⅱ)求(X，Y)的密度函数f(x，y)．

admin2019-05-14 63

问题设二维随机变量(U，V)一N(2，2；4，1；

)，记X＝U一bV，Y＝V．
(I)问当常数b为何值时，X与Y独立?
(Ⅱ)求(X，Y)的密度函数f(x，y)．

选项

答案(I)由于X＝U一bV，Y＝V且[*]＝1≠0，故(X，Y)服从一维正态分布，所以X与Y独立等价于X与Y不相关，即Cov(X，Y)＝0，从而有 Cov(U—bV，V)＝0，Cov(U，V)一bDV＝0，即[*]一b·1＝0，解得b＝1，即当b＝1时，X与Y独立． (Ⅱ)由正态分布的性质知X＝U—V服从正态分布，且 EX＝EU—EV＝2—2＝0． DX＝D(U—V)＝DU＋DV一2Cov(U，V)＝4＋1—2·[*]＝3，所以X～N(0，3)，同理Y＝V～N(2，1)．又因为X与Y独立，故 [*]

解析

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考研数学一

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