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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: (Ⅰ)在(a,b)内,g(x)≠0; (Ⅱ)在(a,b)内至少存在一点ξ,使。
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: (Ⅰ)在(a,b)内,g(x)≠0; (Ⅱ)在(a,b)内至少存在一点ξ,使。
admin
2019-05-14
39
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明:
(Ⅰ)在(a,b)内,g(x)≠0;
(Ⅱ)在(a,b)内至少存在一点ξ,使
。
选项
答案
(Ⅰ)假设对任意的c∈(a,b)且g(c)=0。 由于g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上分别运用罗尔定理可得g’(ξ
1
)=g’(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),对g’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上运用罗尔定理,可得g"(ξ
3
)=0,其中ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
)。 因已知g"(x)≠0,与题设矛盾,故g(c)≠0,即在(a,b)内,g(x)≠0。 (Ⅱ)构造辅助函数F(x)=f(x)g’(x)—f’(x)g(x),则有F(a)=0,F(b)=0,在[a,b]上满足罗尔定理。 故至少存在一点ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=f(ξ)g"(ξ)—f"(ξ)g(ξ)=0,即 [*]
解析
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考研数学一
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