2. 考研
  3. 设α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A＝ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝∧为对角矩阵．

设α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A＝ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝∧为对角矩阵．

admin2019-04-22  102
问题 设α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A＝ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝∧为对角矩阵．
选项
答案(1)Am＝(ααT)(ααT)…(ααT)＝α(αTα)m-1αT＝(αTα)m-1(ααT)＝[*]A＝rm-1A，其中t＝[*]ai2(2)A≠O，[*]1≤秩(A)＝秩(ααT)≤秩(α)＝1，[*]秩(A)＝1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n－1重特征值λ1＝λ2…＝λn-1＝0．设a1≠0，由 0E－A→A＝[*] 得属于特征值0的特征值可取为： [*] 由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0＋0＋…＋0＋λn＝[*]ai2，得λn＝[*]ai2＝αTα，由Aα＝(ααT)α＝α(αTα)＝αλn＝λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P＝[ξ1 ξ2 … ξn-1 α]，则有P-1AP＝diag(0，0，…，0，[*]ai2)为对角阵．
解析
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考研数学二

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