设α＝(a1，a2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A＝ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝∧为对角矩阵．

admin2019-04-22 58

问题设α＝(a₁，a₂，…，a_n)^T是Rⁿ中的非零向量，方阵A＝αα^T．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使A^m＝t^m-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P^-1AP＝∧为对角矩阵．

选项

答案(1)A^m＝(αα^T)(αα^T)…(αα^T)＝α(α^Tα)^m-1α^T＝(α^Tα)^m-1(αα^T)＝[*]A＝r^m-1A，其中t＝[*]a_i²(2)A≠O，[*]1≤秩(A)＝秩(αα^T)≤秩(α)＝1，[*]秩(A)＝1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n－1重特征值λ₁＝λ₂…＝λ_n-1＝0．设a₁≠0，由 0E－A→A＝[*] 得属于特征值0的特征值可取为： [*] 由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0＋0＋…＋0＋λ_n＝[*]a_i²，得λ_n＝[*]a_i²＝α^Tα，由Aα＝(αα^T)α＝α(α^Tα)＝αλ_n＝λ_nα及α≠0，得与λ_n对应特征向量为α，令P＝[ξ₁ ξ₂ … ξ_n-1 α]，则有P^-1AP＝diag(0，0，…，0，[*]a_i²)为对角阵．

解析

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考研数学二

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