设α=(a1,a2,…,an)T是Rn中的非零向量,方阵A=ααT.(1)证明:对正整数m,存在常数t,使Am=tm-1A,并求出t;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=∧为对角矩阵.

admin2019-04-22  40

问题 设α=(a1,a2,…,an)T是Rn中的非零向量,方阵A=ααT.(1)证明:对正整数m,存在常数t,使Am=tm-1A,并求出t;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=∧为对角矩阵.

选项

答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m-1αT=(αTα)m-1(ααT)=[*]A=rm-1A,其中t=[*]ai2(2)A≠O,[*]1≤秩(A)=秩(ααT)≤秩(α)=1,[*]秩(A)=1,因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩,故A只有一个非零特征值,而有n-1重特征值λ1=λ2…=λn-1=0.设a1≠0,由 0E-A→A=[*] 得属于特征值0的特征值可取为: [*] 由特征值之和等于A的主对角线元素之和,即0+0+…+0+λn=[*]ai2,得λn=[*]ai2=αTα,由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0,得与λn对应特征向量为α,令P=[ξ1 ξ2 … ξn-1 α],则有P-1AP=diag(0,0,…,0,[*]ai2)为对角阵.

解析
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