设f(χ)在区间[a，b]上二阶可导且f〞(χ)≥0．证明：(b－a)f()≤∫abf(χ)dχ≤[f(a)＋f(b)]．

admin2019-05-11 106

问题设f(χ)在区间[a，b]上二阶可导且f〞(χ)≥0．证明：(b－a)f(

)≤∫_a^bf(χ)dχ≤

[f(a)＋f(b)]．

选项

答案由泰勒公式得f(χ)＝[*] 其中ξ介于χ与[*]之间，因为f〞(χ)≥0，所以有 [*] 两边积分得∫_a^bf(χ)dχ≥(b－a)[*] 令φ(χ)＝[*][f(χ)＋f(a)]－∫_a^χf(t)dt，且φ(a)＝0， [*] 其中a≤η≤χ，因为f〞(χ)≥0，所以f′(χ)单调不减，于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b)， [*]

解析

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