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设f(χ)在区间[a,b]上二阶可导且f〞(χ)≥0.证明:(b-a)f()≤∫abf(χ)dχ≤[f(a)+f(b)].
设f(χ)在区间[a,b]上二阶可导且f〞(χ)≥0.证明:(b-a)f()≤∫abf(χ)dχ≤[f(a)+f(b)].
admin
2019-05-11
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问题
设f(χ)在区间[a,b]上二阶可导且f〞(χ)≥0.证明:(b-a)f(
)≤∫
a
b
f(χ)dχ≤
[f(a)+f(b)].
选项
答案
由泰勒公式得f(χ)=[*] 其中ξ介于χ与[*]之间, 因为f〞(χ)≥0,所以有 [*] 两边积分得∫
a
b
f(χ)dχ≥(b-a)[*] 令φ(χ)=[*][f(χ)+f(a)]-∫
a
χ
f(t)dt,且φ(a)=0, [*] 其中a≤η≤χ, 因为f〞(χ)≥0,所以f′(χ)单调不减,于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b), [*]
解析
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考研数学二
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