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[2005年] 已知三阶矩阵A的第l行是[a,b,c],a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.
[2005年] 已知三阶矩阵A的第l行是[a,b,c],a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.
admin
2019-05-10
57
问题
[2005年] 已知三阶矩阵A的第l行是[a,b,c],a,b,c不全为零,矩阵B=
(k为常数),且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.
选项
答案
为求AX=0的通解,需求其基础解系,为此需求出秩(A),这就必然要对k进行讨论,确定基础解系所含解向量的个数后,可从B的列向量中求出基础解系. 由题设AB=O可得出两种思路:一是秩(A)+秩(B)≤n;另一是B的列向量都是AX=0的解向量,据此可得到下列解法: (1)如k≠9,则秩(B)=2,因而由秩(A)+秩(B)≤3得到秩(A)≤1.显然秩(A)≥1,故秩(A)=1,于是AX=0的一个基础解系含n一秩(A)=3—1=2个解向量.由AB=0知α
1
=[1,2,3]
T
,α
2
=[3,6,k]
T
为AX=0的两个线性无关的解向量,于是其通解为k
1
α
1
+k
2
α
2
=k
1
[1,2,3]
T
+k
2
[3,6,k]
T
,k
1
,k
2
为任意两个常数. (2)如k=9,则秩(B)=1,于是秩(A)≤3一秩(B)=2.因而秩(A)=1或秩(A)=2. 当秩(A)=1时,则A的第2,3两行均与第1行成比例,故AX=0的等价方程组为ax
1
+bx
2
+cx
3
=0,不妨设c≠0,则 [*] 其一个基础解系含2个解向量,即β
1
=[1,0,-a/c]
T
,β
2
=[0,1,一b/c]
T
.为方便计,不妨取为β
1
=[c,0,一a]
T
,β
2
=[0,c,一b]
T
,其通解为l
1
β
1
+l
2
β
2
,l
1
,l
2
为任意常数. 当秩(A)=2时,则AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=3—2=1个解向量.此解向量γ可取B中任意一个列向量,不妨令γ=[1,2,3]
T
,则其通解为tγ,其中t为任意常数.
解析
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