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  3. [2005年] 已知三阶矩阵A的第l行是[a，b，c]，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.

[2005年] 已知三阶矩阵A的第l行是[a，b，c]，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.

admin2019-05-10  51
问题 [2005年]  已知三阶矩阵A的第l行是[a，b，c]，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O.求线性方程组AX=0的通解.
选项
答案为求AX=0的通解，需求其基础解系，为此需求出秩(A)，这就必然要对k进行讨论，确定基础解系所含解向量的个数后，可从B的列向量中求出基础解系． 由题设AB=O可得出两种思路：一是秩(A)+秩(B)≤n；另一是B的列向量都是AX=0的解向量，据此可得到下列解法： (1)如k≠9，则秩(B)=2，因而由秩(A)+秩(B)≤3得到秩(A)≤1．显然秩(A)≥1，故秩(A)=1，于是AX=0的一个基础解系含n一秩(A)=3—1=2个解向量．由AB=0知α1=[1，2，3]T，α2=[3，6，k]T为AX=0的两个线性无关的解向量，于是其通解为k1α1+k2α2=k1[1，2，3]T+k2[3，6，k]T，k1，k2为任意两个常数． (2)如k=9，则秩(B)=1，于是秩(A)≤3一秩(B)=2．因而秩(A)=1或秩(A)=2． 当秩(A)=1时，则A的第2，3两行均与第1行成比例，故AX=0的等价方程组为ax1+bx2+cx3=0，不妨设c≠0，则 [*] 其一个基础解系含2个解向量，即β1=[1，0，－a／c]T，β2=[0，1，一b／c]T．为方便计，不妨取为β1=[c，0，一a]T，β2=[0，c，一b]T，其通解为l1β1+l2β2，l1，l2为任意常数． 当秩(A)=2时，则AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=3—2=1个解向量．此解向量γ可取B中任意一个列向量，不妨令γ=[1，2，3]T，则其通解为tγ，其中t为任意常数．
解析
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考研数学二

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