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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)使 若f(ξ)＞0且单调减少，则ξ是唯一的．

设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)使 若f(ξ)＞0且单调减少，则ξ是唯一的．

admin2020-03-08  36
问题 设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)使
若f(ξ)＞0且单调减少，则ξ是唯一的．
选项
答案令[*] 即去证明存在ξ∈(0，1)使F(ξ)一(1一ξ)F’(ξ)=0．将ξ改为x，即去证方程F(x)一(1－x)F’(x)=0在(0，1)内存在根．作函数(此种作函数的方法称微分方程法)φ(x)=(1一x)F(x)，有φ(0)=F(0)=0，φ(1)=0，由罗尔定理知存在ξ∈(0，1)使φ’(ξ)=0．即一F(ξ)f一(1一ξ)F’(ξ)=0．证明了ξ∈(0，1)的存在性．再设，f(x)>0．去证这种ξ是唯一的．设存在ξ∈(0，1)及η∈(0，1)，不妨设ξ＞η，使[*] 两式相减，由f(x)单调减少及f(x)＞0，得[*] 但左边[*]这是一个矛盾．这就证明了ξ∈(0．1)是唯一的．证毕．
解析
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考研数学一

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