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设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1)使 若f(ξ)>0且单调减少,则ξ是唯一的.
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1)使 若f(ξ)>0且单调减少,则ξ是唯一的.
admin
2020-03-08
35
问题
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1)使
若f(ξ)>0且单调减少,则ξ是唯一的.
选项
答案
令[*] 即去证明存在ξ∈(0,1)使F(ξ)一(1一ξ)F
’
(ξ)=0.将ξ改为x,即去证方程F(x)一(1-x)F
’
(x)=0在(0,1)内存在根.作函数(此种作函数的方法称微分方程法)φ(x)=(1一x)F(x),有φ(0)=F(0)=0,φ(1)=0,由罗尔定理知存在ξ∈(0,1)使φ
’
(ξ)=0.即一F(ξ)f一(1一ξ)F
’
(ξ)=0.证明了ξ∈(0,1)的存在性.再设,f(x)>0.去证这种ξ是唯一的.设存在ξ∈(0,1)及η∈(0,1),不妨设ξ>η,使[*] 两式相减,由f(x)单调减少及f(x)>0,得[*] 但左边[*]这是一个矛盾.这就证明了ξ∈(0.1)是唯一的.证毕.
解析
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考研数学一
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