已知A为三阶方阵，A2-A-2E=O，且0＜｜A｜＜5，则｜A+2E｜=_______。

admin2019-05-12 41

问题已知A为三阶方阵，A²-A-2E=O，且0＜｜A｜＜5，则｜A+2E｜=_______。

选项

答案4

解析设A的特征值λ_i对应的特征向量是x_i(x_i≠0，i=1，2，3)，则Ax_i=λx_i。
由A²-A-2E=O可知，特征向量x_i满足(A²-A-2E)x_i=0，从而有λ_i²-λ-2=0，解得λ_i=-1或λ_i=2。再根据｜A｜=λ₁λ₂λ₃及0＜｜A｜＜5可得，λ₁=λ₂=-1，λ₃=2。
由Ax_i=Ax_i可得(A+2E)x_i=(λ_i+2)x_i，即A+2E的特征值μ_i(i=1，2，3)满足μ_i=λ_i+2，所以μ₁=μ₂=1，μ₃=4，故｜A+2E｜=1×1×4=4。

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