2. 考研
  3. 设A是三阶实对称矩阵，|A|=一12，A的三个特征值之和为1，且α=(1，0，一2)T是方程组(A*一4E)x=0的一个解向量。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求方程组(A*+6E)x=0的通解。

设A是三阶实对称矩阵，|A|=一12，A的三个特征值之和为1，且α=(1，0，一2)T是方程组(A*一4E)x=0的一个解向量。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求方程组(A*+6E)x=0的通解。

admin2020-08-03  12
问题 设A是三阶实对称矩阵，|A|=一12，A的三个特征值之和为1，且α=(1，0，一2)T是方程组(A*一4E)x=0的一个解向量。
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求方程组(A*+6E)x=0的通解。
选项
答案(Ⅰ)α=(1，0，一2)T是方程组(A*一4E)x=0的一个解向量，(A*一4E)α=0，即A*α=4α，又A*A=AA*=|A|E=一12E，故 AA*α=4Aα=[*]=一3a． 所以α=(1，0，一2)T是A的属于特征值λ3=一3的特征向量。 设A的另外两个特征值为λ1，λ2，则 λ1+λ2+λ3=1，λ1λ2λ3=|A|=一12， 解得λ1=λ2=2，设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则它与α=(1，0，一2)T正交，即x1一2x3=0，其基础解系为 α1=(0，1，0)T，α2=(2，0，1)T， [*] 同解方程组为x1一2x3=0，通解为k1(0，1，0)T+k2(2，0，1)T，其中k1，k2为任意常数。
解析
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考研数学一

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