2. 考研
  3. f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f’’’(ξ)=3．

f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f’’’(ξ)=3．

admin2016-09-12  45
问题 f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f’’’(ξ)=3．
选项
答案由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f’(0)(-1-0)+[*](-1-0)2，ξ1∈(-1，0)， f(1)=f(0)+f’(0)(1-0)+[*](1-0)3，ξ2∈(0，1)， [*] 两式相减得f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)=6． 因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M． 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](-1，1)，使得f’’’(ξ)=3．
解析
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考研数学二

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