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已知y1*(x)=xe-x+e-2x,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解. (I)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0
已知y1*(x)=xe-x+e-2x,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解. (I)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0
admin
2019-06-06
75
问题
已知y
1
*
(x)=xe
-x
+e
-2x
,y
2
*
(x)=xe
-x
+xe
-2x
,y
3
*
(x)=xe
-x
+e
-2x
+xe
-2x
是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解.
(I)求这个方程和它的通解;
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y’(0)=0的特解,求∫
0
+∞
y(x)dx.
选项
答案
(I)由线性方程解的叠加原理→ y
1
(x)=y
3
*
(x)一y
2
*
(x)=e
-2x
,y
2
(x)=y
3
*
(x)一y
1
*
(x)=xe
-2x
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是重根λ=一2相应的特征方程为 (λ+2)
2
=0,即λ
2
+4λ+4=0. 原方程为 y’’+4y’+4y=f(x). ① 由于y
*
(x)=xe
-x
是它的特解,求导得 y
*
’(x)=e
-x
(1一x), y
x
’’(x)=e
-x
(x一2). 代入方程①得e
-x
(x一2)+4e
-x
(1一x)+4xe
-x
=f(x) → f(x)=(x+2)e
-x
→原方程为y’’+4y’+4y=(x+2)e
-x
,其通解为 y=C
1
e
-2x
+C
2
xe
-2x
+xe
-x
,其中C
1
,C
2
为[*]常数. (Ⅱ)[*]C
1
,C
2
,方程的[*]解y(x)均有 [*] 不必由初值来定C
1
,C
2
,直接将方程两边积分得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JqV4777K
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考研数学二
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