2. 考研
  3. 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解． (I)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0

已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解． (I)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0

admin2019-06-06  40
问题 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+gy=f(x)的三个特解．
(I)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y’(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx．
选项
答案(I)由线性方程解的叠加原理→ y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe-2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ=一2相应的特征方程为 (λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0． 原方程为 y’’+4y’+4y=f(x)． ① 由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得 y*’(x)=e-x(1一x)， yx’’(x)=e-x(x一2)． 代入方程①得e-x(x一2)+4e-x(1一x)+4xe-x=f(x) → f(x)=(x+2)e-x →原方程为y’’+4y’+4y=(x+2)e-x，其通解为 y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为[*]常数． (Ⅱ)[*]C1，C2，方程的[*]解y(x)均有 [*] 不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得 [*]
解析
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考研数学二

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