(1)举出一个连续函数，它仅在已知点a1，a2，…，an不可导； (2)举出一个函数，它仅在点a1，a2，…，an可导．

admin2022-10-31 47

问题 (1)举出一个连续函数，它仅在已知点a₁，a₂，…，a_n不可导；
(2)举出一个函数，它仅在点a₁，a₂，…，a_n可导．

选项

答案(1)由于f(x)=｜x｜仅在x=0不可导，其余点可导，从而也连续，从而｜x-a₁｜仅在x=a₁处不可导，进而｜x-a₁｜+｜x-a₂｜或｜x-a₁｜·｜x-a₂｜仅在点a₁，a₂处不可导，其余点可导，…，依此进行，可得函数[*]仅在已知点a₁，a₂，…，a_n不可导． (2)由于狄利克雷函数[*]处处不可导，不连续，可知(x-a₁)²D(x)仅在x=a₁可导且导数为0，其他点不可导，进而(x-a₁)²(x-a₂)²D(x)仅在x=a₁，a₂处可导，其他点不可导，…，依此进行，可得函数[*]仅在a₁，a₂，…，a_n处可导，其中D(x)为狄利克雷函数．

解析

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考研数学二

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(1)举出一个连续函数，它仅在已知点a1，a2，…，an不可导； (2)举出一个函数，它仅在点a1，a2，…，an可导．

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