设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

admin2019-08-12 53

问题设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明：
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1；
(2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

选项

答案(1)令h(χ)＝f(χ)－χ，因为f(χ)在[－1，1]上为奇函数，所以f(0)＝0，从而h(0)＝0，h(1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h′(ξ)＝0，而h′(χ)＝f′(χ)－1，故ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1． (2)令φ(χ)＝e^χ[f′(χ)－1]，因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，由f′(ξ)＝1得f′(－ξ)＝1．因为φ(－ξ)＝φ(ξ)，所以存在η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝e^χ[f〞(χ)＋f′(χ)－1]且e^χ≠0，故f〞(η)＋f′(η)＝1．

解析

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考研数学二

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设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

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