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设奇函数f(χ)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f〞(η)+f′(η)=1.
设奇函数f(χ)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1; (2)存在η∈(-1,1),使得f〞(η)+f′(η)=1.
admin
2019-08-12
92
问题
设奇函数f(χ)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明:
(1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;
(2)存在η∈(-1,1),使得f〞(η)+f′(η)=1.
选项
答案
(1)令h(χ)=f(χ)-χ, 因为f(χ)在[-1,1]上为奇函数,所以f(0)=0, 从而h(0)=0,h(1)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得h′(ξ)=0, 而h′(χ)=f′(χ)-1,故ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1. (2)令φ(χ)=e
χ
[f′(χ)-1], 因为f(χ)为奇函数,所以f′(χ)为偶函数,由f′(ξ)=1得f′(-ξ)=1. 因为φ(-ξ)=φ(ξ),所以存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得φ′(η)=0, 而φ′(χ)=e
χ
[f〞(χ)+f′(χ)-1]且e
χ
≠0, 故f〞(η)+f′(η)=1.
解析
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考研数学二
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