设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，矩阵A与矩阵B相似，则下列矩阵可逆的是( )．

admin2020-09-23 14

问题设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，矩阵A与矩阵B相似，则下列矩阵可逆的是( )．

选项 A、B+E．
B、B^T+E．
C、B^-1+E．
D、B*一E．

答案D

解析由于矩阵B^T与B具有相同的特征值，所以B^T+E与B+E具有相同的特征值，故
|B^T+E|=|B+E|，B^T+E与B+E要么都可逆。要么都不可逆，A，B不正确．
由题意知，B的特征值也为一1，1，2。从而B^-1的特征值为一1，1，

；由|B|=一2知B*的特征值为2，一2，一1，进一步可知B^-1+E的特征值为0，2，

，B*-E的特征值为1，一3，—2，因为|B^-1+E|=0，所以B^-1+E不可逆，C不正确，由|B*一E|=6≠0，知B*一E可逆，应选D．

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考研数学一

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