设0<a<b,证明: (1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)<(1+a+b)ln(1+a+b).

admin2021-11-09  21

问题 设0<a<b,证明:
(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)<(1+a+b)ln(1+a+b).

选项

答案证:对函数f(x)=(1+x)ln(1+x)在区间[b,a+b]上应用拉格朗日中值定理,有 (1+a+b)ln(1+a+b)-(1+b)ln(1+b)=[1+ln(1+ε)]a,b<ε<a+b 对a>0,有a>ln(1+a)及ln(1+ε)>ln(1+a),由上式得 (1+a+b)ln(1+a+b)-(1+b)ln(1+b)>ln(1+a)+aln(1+a)=(1+a)ln(1+a).

解析
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