设0＜a＜b，证明： (1＋a)ln(1＋a)＋(1＋b)ln(1＋b)＜(1＋a＋b)ln(1＋a＋b)．

admin2021-11-09 48

问题设0＜a＜b，证明：
(1＋a)ln(1＋a)＋(1＋b)ln(1＋b)＜(1＋a＋b)ln(1＋a＋b)．

选项

答案证：对函数f(x)＝(1＋x)ln(1＋x)在区间[b，a＋b]上应用拉格朗日中值定理，有 (1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＝[1＋ln(1＋ε)]a，b＜ε＜a＋b 对a＞0，有a＞ln(1＋a)及ln(1＋ε)＞ln(1＋a)，由上式得 (1＋a＋b)ln(1＋a＋b)－(1＋b)ln(1＋b)＞ln(1＋a)＋aln(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)．

解析

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