设A为n阶矩阵，α1为AX＝0的一个非零解，向量组α2，…，αs满足Ai-1αi＝α1(i＝2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．

admin2018-11-23 22

问题设A为n阶矩阵，α₁为AX＝0的一个非零解，向量组α₂，…，α_s满足A^i-1α_i＝α₁(i＝2，3，…，s)．证明α₁，α₂，…，α_s线性无关．

选项

答案设c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_sα_s＝0(1)，要推出系数c_i都为0．条件说明Aⁱα_i＝Aα₁＝0 (i＝1，2，3，…，s)．用A^s-1乘(1)的两边，得c_sα₁＝0，则c_s＝0．再用A^s-2乘(1)的两边，得c_s-1α₁＝0，则c_s-1＝0．这样可逐个得到每个系数都为0．

解析

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