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(2008年试题,21)设n元线性方程组Ax=b，其中 a为何值，方程组有无穷多解?求通解．

admin2013-12-27  62
问题 (2008年试题,21)设n元线性方程组Ax=b，其中
a为何值，方程组有无穷多解?求通解．
选项
答案若使方程组Ax=b有无穷多解，则｜A｜=(n+1)an=0，即a=0．把a=0代入到矩阵A中，显然有r(A｜B)=rA=n—1，方程组有一个基础解向量．取自由未知量x1=1，得到它的基础解系为k(1，0，0，…，0)T(k为任意常数)；代入a=0后方程组化为[*]特解取为(0，1，0，…，0)T，则方程组Ax=b的通解为k(1，0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T其中k为任意常数．
解析 本题的第(I)问亦可采用数学归纳法来证明：当n=1时，｜A｜=｜2a｜=2a，结论成立；当n=2时,结论也成立；假设n=k一1时，命题亦成立，即有｜A｜k-2=(k一1)ak-2，｜A｜k-1=kak-1，当n=k时，将｜A｜k按第一行展开得：｜A｜k=2a｜A｜k-1一a2｜A｜一2=2a.kak-1一a2.(k一1)ak-2=(k+1)ak即结论仍成立．故而知原命正确，即有｜A｜=(n+1)an．
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