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过原点作曲线y=的切线L,该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D. (Ⅰ)求切线L的方程. (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y.
过原点作曲线y=的切线L,该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D. (Ⅰ)求切线L的方程. (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y.
admin
2020-12-17
45
问题
过原点作曲线y=
的切线L,该切线与曲线y=
及y轴围成平面图形D.
(Ⅰ)求切线L的方程.
(Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y.
选项
答案
(Ⅰ)设切线的切点为(x
0
,y
0
),则切线的斜率为y’(x
0
)=[*],所以切线L的方程为 y= y
0
+[*](x— x
0
) 其中y
0
=[*] 因L过(0,0)点,把x=0,y=0代入上述方程得 [*] 即 x
0
=2,y
0
=e 因此所求切线L的方程为 [*] (Ⅱ)平面图形D如右图. 取积分变量为y.设y=[*]ex,y=e,),轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V
1
,它是锥体,V
1
=[*](x∈[0,2])即x=2lny(y∈[1,e]),y=e,y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V
2
,则V=V
1
—V
2
, V
2
=π∫
1
e
f(2lny)
2
dy = 4π[ yln
2
y|∫
1
e
y.2lny.[*]] = 4π[e— 2∫
1
e
lydy] = 4π[e— 2ylny|
1
e
+2∫
1
e
dy] = 4π[e— 2e+2(e—1) ] = 4π(e— 2) 因此 V= V
1
— V
2
=8π一[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KCx4777K
0
考研数学三
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