2. 考研
  3. 过原点作曲线y=的切线L，该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D． （Ⅰ）求切线L的方程． （Ⅱ）求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y．

过原点作曲线y=的切线L，该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D． （Ⅰ）求切线L的方程． （Ⅱ）求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y．

admin2020-12-17  29
问题 过原点作曲线y=的切线L，该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D．
（Ⅰ）求切线L的方程．
（Ⅱ）求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y．
选项
答案(Ⅰ)设切线的切点为（x0，y0），则切线的斜率为y’（x0）=[*]，所以切线L的方程为 y= y0+[*](x— x0) 其中y0=[*] 因L过(0，0)点，把x=0，y=0代入上述方程得 [*] 即 x0=2，y0=e 因此所求切线L的方程为 [*] (Ⅱ)平面图形D如右图． 取积分变量为y．设y=[*]ex，y=e，)，轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V1，它是锥体，V1=[*]（x∈[0，2]）即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V2，则V=V1—V2， V2=π∫1ef(2lny)2dy = 4π[ yln2y|∫1ey．2lny．[*]] = 4π[e— 2∫1elydy] = 4π[e— 2ylny|1e+2∫1edy] = 4π[e— 2e+2(e—1) ] = 4π(e— 2) 因此 V= V1— V2=8π一[*]
解析
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考研数学三

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