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设函数f(x,y)=e2x(x+2y+y2). (Ⅰ)求f(x,y)的极值; (Ⅱ)求函数f(x,y)-e2xy2在条件x+y=1下的极值.
设函数f(x,y)=e2x(x+2y+y2). (Ⅰ)求f(x,y)的极值; (Ⅱ)求函数f(x,y)-e2xy2在条件x+y=1下的极值.
admin
2020-10-30
73
问题
设函数f(x,y)=e
2x
(x+2y+y
2
).
(Ⅰ)求f(x,y)的极值;
(Ⅱ)求函数f(x,y)-e
2x
y
2
在条件x+y=1下的极值.
选项
答案
(Ⅰ)f’
x
=e
2x
(2x+4y+2y
2
+1),f’
y
=e
2x
(2+2y). 令[*] 因为f"
xx
=4e
2x
(x+2y+y
2
+1),f"
xy
=4e
2x
(1+y),f"
yy
=2e
2x
,在驻点[*]处,[*] 因为B
2
-AC=4e
2
<0,A>0,所以f(x,y)在点[*]509处取得极小值,且极小值为[*]. (Ⅱ)由x+y=1得y=1-x,此时f(x,y)-e
2x
y
2
=e
2x
(2-x),令z=e
2x
(2-x),则[*] 令[*]得z=e
2x
(2-x)的驻点为[*].由[*],知[*]是函数z的极大值点,所以函数f(x,y)-e
2x
y
2
在条件x+y=1下的极大值[*].
解析
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考研数学三
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