2. 考研
  3. 设函数f(x，y)＝e2x(x＋2y＋y2)． (Ⅰ)求f(x，y)的极值； (Ⅱ)求函数f(x，y)－e2xy2在条件x＋y＝1下的极值．

设函数f(x，y)＝e2x(x＋2y＋y2)． (Ⅰ)求f(x，y)的极值； (Ⅱ)求函数f(x，y)－e2xy2在条件x＋y＝1下的极值．

admin2020-10-30  101
问题 设函数f(x，y)＝e2x(x＋2y＋y2)．
(Ⅰ)求f(x，y)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x，y)－e2xy2在条件x＋y＝1下的极值．
选项
答案(Ⅰ)f’x＝e2x(2x＋4y＋2y2＋1)，f’y＝e2x(2＋2y)． 令[*] 因为f"xx＝4e2x(x＋2y＋y2＋1)，f"xy＝4e2x(1＋y)，f"yy＝2e2x，在驻点[*]处，[*] 因为B2－AC＝4e2＜0，A＞0，所以f(x，y)在点[*]509处取得极小值，且极小值为[*]． (Ⅱ)由x＋y＝1得y＝1－x，此时f(x，y)－e2xy2＝e2x(2－x)，令z＝e2x(2－x)，则[*] 令[*]得z＝e2x(2－x)的驻点为[*]．由[*]，知[*]是函数z的极大值点，所以函数f(x，y)－e2xy2在条件x＋y＝1下的极大值[*]．
解析
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考研数学三

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