设函数f(x,y)=e2x(x+2y+y2). (Ⅰ)求f(x,y)的极值; (Ⅱ)求函数f(x,y)-e2xy2在条件x+y=1下的极值.

admin2020-10-30  43

问题 设函数f(x,y)=e2x(x+2y+y2).
(Ⅰ)求f(x,y)的极值;
(Ⅱ)求函数f(x,y)-e2xy2在条件x+y=1下的极值.

选项

答案(Ⅰ)f’x=e2x(2x+4y+2y2+1),f’y=e2x(2+2y). 令[*] 因为f"xx=4e2x(x+2y+y2+1),f"xy=4e2x(1+y),f"yy=2e2x,在驻点[*]处,[*] 因为B2-AC=4e2<0,A>0,所以f(x,y)在点[*]509处取得极小值,且极小值为[*]. (Ⅱ)由x+y=1得y=1-x,此时f(x,y)-e2xy2=e2x(2-x),令z=e2x(2-x),则[*] 令[*]得z=e2x(2-x)的驻点为[*].由[*],知[*]是函数z的极大值点,所以函数f(x,y)-e2xy2在条件x+y=1下的极大值[*].

解析
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