设函数f(x，y)＝e2x(x＋2y＋y2)． (Ⅰ)求f(x，y)的极值； (Ⅱ)求函数f(x，y)－e2xy2在条件x＋y＝1下的极值．

admin2020-10-30 48

问题设函数f(x，y)＝e^2x(x＋2y＋y²)．
(Ⅰ)求f(x，y)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x，y)－e^2xy²在条件x＋y＝1下的极值．

选项

答案(Ⅰ)f’_x＝e^2x(2x＋4y＋2y²＋1)，f’_y＝e^2x(2＋2y)．令[*] 因为f"_xx＝4e^2x(x＋2y＋y²＋1)，f"_xy＝4e^2x(1＋y)，f"_yy＝2e^2x，在驻点[*]处，[*] 因为B²－AC＝4e²＜0，A＞0，所以f(x，y)在点[*]509处取得极小值，且极小值为[*]． (Ⅱ)由x＋y＝1得y＝1－x，此时f(x，y)－e^2xy²＝e^2x(2－x)，令z＝e^2x(2－x)，则[*] 令[*]得z＝e^2x(2－x)的驻点为[*]．由[*]，知[*]是函数z的极大值点，所以函数f(x，y)－e^2xy²在条件x＋y＝1下的极大值[*]．

解析

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考研数学三

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