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设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
admin
2019-03-19
74
问题
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+A
T
A,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
1 因为 B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B 所以B为n阶对称矩阵.对于任意的实n维向量x,有 x
T
Bx=X
T
(λE+A
T
A)x=λ
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax) 当x≠0时,有x
T
x>0,(Ax)
T
(Ax)≥0.因此,当λ>0时,对任意的x≠0,有 x
T
Bx=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)>0 即B为正定矩阵. 2 B=λE+A
T
A为实对称矩阵,要证明B为正定矩阵,只要证明B的特征值均大于零.设μ为B的任一特征值,x为对应的特征向量,则Bx=μx,即 (λE+A
T
A)x=μx 或λx+A
T
Ax=μx 两端左乘x
T
,得 λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)=μx
T
x 或λ‖x‖
2
+‖Ax‖
2
=μ‖x‖
2
因为x≠0有‖x‖>0,‖Ax‖≥0,所以当λ>0时,有 [*] 可知B的特征值全大于零,故B正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/seP4777K
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考研数学三
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