2. 考研
  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2019-03-19  109
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
选项
答案1 因为 BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B 所以B为n阶对称矩阵．对于任意的实n维向量x，有 xTBx=XT(λE+ATA)x=λTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax) 当x≠0时，有xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有 xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0 即B为正定矩阵． 2 B=λE+ATA为实对称矩阵，要证明B为正定矩阵，只要证明B的特征值均大于零．设μ为B的任一特征值，x为对应的特征向量，则Bx=μx，即 (λE+ATA)x=μx 或λx+ATAx=μx 两端左乘xT，得 λxTx+(Ax)T(Ax)=μxTx 或λ‖x‖2+‖Ax‖2=μ‖x‖2 因为x≠0有‖x‖＞0，‖Ax‖≥0，所以当λ＞0时，有 [*] 可知B的特征值全大于零，故B正定．
解析
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考研数学三

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