设f(χ)在[0，1]上连续可导，f(1)＝0，∫01χf′(χ)dχ＝2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．

admin2020-07-31 10

问题设f(χ)在[0，1]上连续可导，f(1)＝0，∫₀¹χf′(χ)dχ＝2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．

选项

答案由分部积分，得 [*]，于是∫₀¹f(χ)dχ＝－2．由拉格朗日中值定理，得f(χ)＝f(χ)－f(1)＝f′(η)(χ－1)，其中η∈(χ，1)， f(χ)＝f′(η)(χ－1)两边对χ从0到1积分，得∫₀¹f(χ)dχ＝∫₀¹f′(η)(χ－1)dχ＝－2. 因为f′(χ)在[0．1]上连续，所以f′(χ)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(χ－1)≤f′(η)(χ－1)≤m(χ－1)两边对χ从0到1积分，得[*]，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．

解析

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考研数学二

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