已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是

admin2015-04-30  35

问题 已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是

选项 A、如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关.
B、如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,那么α1,α2,α4也线性相关.
C、如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性表出,则α1可以由α2,α3,α4线性表出.
D、如果秩r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34),则α4可以由α1,α2,α3线性表出.

答案B

解析 例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知(B)不正确.应选(B).
    关于(A):如果α1,α2,α3线性无关,又因α1,α2,α3,α4是4个3维向量,它们必线性相关,而知α4必可由α1,α2,α3线性表出.
    关于(C):由已知条件,有
    (I)r(α1,α2)≠r(α1,α2,α3),(Ⅱ)r(α2,α3)≠r(α2,α3,α4).
    若r(α2,α3)=1,则必有r(α1,α2)=r(α1,α2,α3),与条件(I)矛盾.故必有r(α2,α3)=2.那么由(Ⅱ)知r(α2,α3,α4)=3,从而r(α1,α2,α3,α4)=3.因此α1可以由α2,α3,α4线性表出.
    关于(D):经初等变换有
    (α1,α12,α23)→(α1,α2,α23)→(α1,α2,α3), (α4,α14,α24,α34)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4),
    从而    r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,α4).
    因而α4可以由α1,α2,α3线性表出.
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