2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，r(A)＝n，则下列结论不正确的是( )．

设A是m×n矩阵，r(A)＝n，则下列结论不正确的是( )．

admin2019-06-29  37
问题 设A是m×n矩阵，r(A)＝n，则下列结论不正确的是(    )．
选项 A、若AB＝O，则B＝O
B、对任意矩阵B，有r(AB)＝r(B)
C、存在B，使得BA＝E
D、对任意矩阵B，有r(BA)＝r(B)
答案D
解析 因为r(A)＝n，所以方程组AX＝0只有零解，而由AB＝O得B的列向量为方程组AX＝0的解，故若AB＝O，则B＝O；
    令BX＝0，ABX＝0为两个方程组，显然若BX＝0，则ABX＝0，反之，若ABX＝0，因为r(A)＝n，所以方程组AX＝0只有零解，于是BX＝0，即方程组BX＝0与ABX＝0为同解方程组，故r(AB)＝r(B)；
    因为r(A)＝n，所以A经过有限次初等行变换化为，即存在可逆矩阵P使得PA＝，令B＝(En O)P，则BA＝E；
    令A＝，B＝(1  1  1)，r(A)＝1，但r(BA)＝0≠r(B)＝1，选D．
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考研数学二

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