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设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 f(x)＜(x2) (2．17) 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则 f(x
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x1＜x2＜b． (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 f(x)＜(x2) (2．17) 对任何x∈(x1，x2)成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则 f(x
admin
2019-03-12
46
问题
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x
1
＜x
2
＜b．
(Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则
f(x)＜
(x
2
) (2．17)
对任何x∈(x
1
，x
2
)成立；
(Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则
f(x)＞
(x
2
) (2．18)
对任何x∈(x
1
，x
2
)成立．
选项
答案
因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．把(2．17)式改写成下面的等价不等式，有 (x
2
一x)[f(x)一f(x
1
)]＜(x一x
1
)[f(x
2
)一f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x
2
一x)[f(x)一f(x
1
)]=(x
2
一x)(x一x
1
)f’(ξ
1
)，x
1
＜ξ
1
＜x， (x一x
1
)[f(x
2
)一f(x)]=(x一x
1
)(x
2
一x)f’(ξ
2
)，x＜ξ
2
＜x
2
． 由f"(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ
1
)＜f’(ξ
2
)，由此即知等价不等式成立，从而(Ⅰ)成立．
解析
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0
考研数学三
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