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设f(x)在(a,b)内二阶可导,且a<x1<x2<b. (Ⅰ)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则 f(x)<(x2) (2.17) 对任何x∈(x1,x2)成立; (Ⅱ)若x∈(a,b)时f"(x)<0,则 f(x
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且a<x1<x2<b. (Ⅰ)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则 f(x)<(x2) (2.17) 对任何x∈(x1,x2)成立; (Ⅱ)若x∈(a,b)时f"(x)<0,则 f(x
admin
2019-03-12
33
问题
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且a<x
1
<x
2
<b.
(Ⅰ)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则
f(x)<
(x
2
) (2.17)
对任何x∈(x
1
,x
2
)成立;
(Ⅱ)若x∈(a,b)时f"(x)<0,则
f(x)>
(x
2
) (2.18)
对任何x∈(x
1
,x
2
)成立.
选项
答案
因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似,下面只证(Ⅰ).把(2.17)式改写成下面的等价不等式,有 (x
2
一x)[f(x)一f(x
1
)]<(x一x
1
)[f(x
2
)一f(x)], 由拉格朗日中值定理知 (x
2
一x)[f(x)一f(x
1
)]=(x
2
一x)(x一x
1
)f’(ξ
1
),x
1
<ξ
1
<x, (x一x
1
)[f(x
2
)一f(x)]=(x一x
1
)(x
2
一x)f’(ξ
2
),x<ξ
2
<x
2
. 由f"(x)>0知f’(x)单调增加,故f’(ξ
1
)<f’(ξ
2
),由此即知等价不等式成立,从而(Ⅰ)成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KMP4777K
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考研数学三
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