设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2.已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值.

admin2019-07-19  27

问题 设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2.已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值.

选项

答案令u=2x-t,则t=2x-u,dt=-du. 当t=0时,u=2x;当t=x时,u=x.故 ∫0xtf(2x-t)dt=-∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du. 由已知得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=[*]arctanx2,两边对x求导,得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x).2-xf(x)]=[*] 即2∫x2xf(u)du=[*] 令x=1,得 [*]

解析
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