若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f′(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)

admin2018-11-22 37

问题若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f′(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)

选项 A、没有零点．
B、至少有一个零点．
C、只有一个零点．
D、有无零点不能确定．

答案C

解析讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，
f(x)=f(0)+f′(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0
(事实上只需x＞

)，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f′(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)．

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考研数学一

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