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[2014年] 证明n阶矩阵与相似．[img][/img]

admin2019-04-08  75
问题 [2014年]  证明n阶矩阵与相似．[img][/img]
选项
答案记[*]，因A为实对称矩阵，必可对角化．由｜λE—A ｜=λn一nλn-1=(λ一n)λn-1=0可知A的特征值为n，0，0，…，0(n—1个零特征值)，故A～diag(n，0，0，…，0)=A． 又由｜λE一B｜=(λ-n)λn-1=0可知B的特征值为n，0，0，…，0(n一1个零特征值)． 当λ=0时，秩(0E一B)=秩（B）=1，则n=秩(0E—B)=n一1，即齐次方程组(0E—B)X=0有n—1个线性无关的解，亦即λ=0时，B有n一1个线性无关的特征向量． 又λ=n时，秩(nE-B)=n一1，则n一秩(nE一B)=n一(n一1)=1，即齐次方程组(nE—B)X=0有一个线性无关的解，亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个，从而B有n个线性无关的特征向量，于是B必与对角矩阵相似，且B～A=diag(n，0，0，…，0)． 由相似的传递性A～Λ～B，得到A～B． 或由A～Λ知，存在可逆矩阵P1使P1-1AP1=Λ；由B～Λ知，存在可逆矩阵P1使 P2-1BP2=Λ，于是由P1-1AP1=P2-1BP2得到P2P1-1AP1P2-1=(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B．令P=P1P2-1，则P可逆，且使P-1AP=B，因而A～B．
解析
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考研数学一

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