设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明： r且ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2线性无关；

admin2021-07-27 40

问题设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ₁，…，ξ_r1和η₁，…，η_r2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明：
r

且ξ₁，…，ξ_r1，η₁，…，η_r2线性无关；

选项

答案因为n=r(CA+DB)=[*]Ax=0与Bx=0无非零公共解，又ξ₁，…，ξ_r1，和η₁，…，η_r1分别为Ax=0与Bx=0的基础解系，于是ξ₁，…，ξ_r1，η₁，…，η_r1线性无关．

解析

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