2. 考研
  3. 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：

设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：

admin2019-07-19  111
问题 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：
选项
答案当r(A)=n时，｜A｜≠0，｜A*｜=｜A｜n—1≠0，即知r(A*)=n；当r(A)=n一1时，A中非零子式的最高阶数为n一1，一方面有A*≠0．→r(A*)≥1，另一方面有｜A｜=0，→A*A=｜A｜E=0．故A的每一列都是方程组A*x=0的解向量，r(A)=n一1说明A*x=0至少有n一1个线性无关解向量，故n一r(A*)≥n一1，r(A*)≤1，以上两方面说明r(A*)=1；当r(A)＜n—1时，A中每个n—1阶子式——即A的每个元素的余子式都为零，→A*=O，从而有r(A*)=0．
解析
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考研数学一

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