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设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:
设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:
admin
2019-07-19
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问题
设A为n阶方阵(n≥2),A
*
为A的伴随矩阵,证明:
选项
答案
当r(A)=n时,|A|≠0,|A
*
|=|A|
n—1
≠0,即知r(A
*
)=n;当r(A)=n一1时,A中非零子式的最高阶数为n一1,一方面有A
*
≠0.→r(A
*
)≥1,另一方面有|A|=0,→A
*
A=|A|E=0.故A的每一列都是方程组A
*
x=0的解向量,r(A)=n一1说明A
*
x=0至少有n一1个线性无关解向量,故n一r(A
*
)≥n一1,r(A
*
)≤1,以上两方面说明r(A
*
)=1;当r(A)<n—1时,A中每个n—1阶子式——即A的每个元素的余子式都为零,→A
*
=O,从而有r(A
*
)=0.
解析
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考研数学一
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