设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:

admin2019-07-19  60

问题 设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:

选项

答案当r(A)=n时,|A|≠0,|A*|=|A|n—1≠0,即知r(A*)=n;当r(A)=n一1时,A中非零子式的最高阶数为n一1,一方面有A*≠0.→r(A*)≥1,另一方面有|A|=0,→A*A=|A|E=0.故A的每一列都是方程组A*x=0的解向量,r(A)=n一1说明A*x=0至少有n一1个线性无关解向量,故n一r(A*)≥n一1,r(A*)≤1,以上两方面说明r(A*)=1;当r(A)<n—1时,A中每个n—1阶子式——即A的每个元素的余子式都为零,→A*=O,从而有r(A*)=0.

解析
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