设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：

admin2019-07-19 108

问题设A为n阶方阵(n≥2)，A^*为A的伴随矩阵，证明：

选项

答案当r(A)=n时，｜A｜≠0，｜A^*｜=｜A｜^n—1≠0，即知r(A^*)=n；当r(A)=n一1时，A中非零子式的最高阶数为n一1，一方面有A^*≠0．→r(A^*)≥1，另一方面有｜A｜=0，→A^*A=｜A｜E=0．故A的每一列都是方程组A^*x=0的解向量，r(A)=n一1说明A^*x=0至少有n一1个线性无关解向量，故n一r(A^*)≥n一1，r(A^*)≤1，以上两方面说明r(A^*)=1；当r(A)＜n—1时，A中每个n—1阶子式——即A的每个元素的余子式都为零，→A^*=O，从而有r(A^*)=0．

解析

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