2. 考研
  3. 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是y1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．

设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是y1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．

admin2019-01-05  56
问题 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是y1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
选项
答案[*] 由γ1，γ2，…，γr，η1，η2，…，ηr线性相关，知存在k1，k2，…，kr，l1，l2，…，lr不全为零，使得 k1 γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2 η2+…+ls ηs=0．令ξ=k1γ1+k2 γ2+…+ktγt，则ξ≠0(否则k1，k2，…，k1，l1，l2，…，ls全为0)，且ξ=一l1η1，l2η2，…，lsηs，即一个非零向量ξ既可由γ1，γ2，…，γt表示，也可由η1，η2，…，ηs表示，所以A Ax=0和Bx=0有非零公共解． [*] 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k1 y1+k2 γ2+…+ktγt，且ξ=一l1η1—l2η2一lsηs，于是，存在k1，k2，…，kt不全为零，存在l1，l2，…，ls不全为零，使得 k1 γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2…+lsηs=0．从而γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
解析
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考研数学三

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