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(1)设D=((x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若fxy"与fyx"在D上连续,证明: (2)设D为xOy平面上的区域,若fxy"与fyx"都在D上连续,证明:fxy"与fyx"在D上相等.
(1)设D=((x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若fxy"与fyx"在D上连续,证明: (2)设D为xOy平面上的区域,若fxy"与fyx"都在D上连续,证明:fxy"与fyx"在D上相等.
admin
2015-08-14
77
问题
(1)设D=((x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若f
xy
"与f
yx
"在D上连续,证明:
(2)设D为xOy平面上的区域,若f
xy
"与f
yx
"都在D上连续,证明:f
xy
"与f
yx
"在D上相等.
选项
答案
[*]=∫
a
b
dx∫
c
d
f
xy
"(x,y)dy=∫
a
b
f
x
’(x,y)|
c
d
dx =∫
a
b
[f
x
’(x,d)一f
x
’(x,c)]dx =f(x,d)|
a
b
—f(x,c)|
a
b
=f(b,d)一f(a,d)+f(a,c)一f(b,c). 同理, [*]=∫
c
d
dy∫
a
b
f
yx
"(x,y)dx=f(b,d)一f(b,d)+f(a,c)一f(b,c)? 结论成立. (2)用反证法. 设[*]P
0
(x
0
,y
0
)∈D,有f
xy
"(x
0
,y
0
)≠f
yx
"(x
0
,y
0
). 不妨设f
xy
"(x
0
,y
0
)一fyx"(x
0
,y
0
)>0,由于 [*] 当P(x,y)∈U(P
0
,δ)时有f
xy
"(x,y)一f
yx
"(x,y)>ε
0
. [*]
解析
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0
考研数学二
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