2. 考研
  3. (1)设D=((x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若fxy"与fyx"在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若fxy"与fyx"都在D上连续，证明：fxy"与fyx"在D上相等．

(1)设D=((x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若fxy"与fyx"在D上连续，证明： (2)设D为xOy平面上的区域，若fxy"与fyx"都在D上连续，证明：fxy"与fyx"在D上相等．

admin2015-08-14  66
问题 (1)设D=((x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若fxy"与fyx"在D上连续，证明：
(2)设D为xOy平面上的区域，若fxy"与fyx"都在D上连续，证明：fxy"与fyx"在D上相等．
选项
答案[*]=∫abdx∫cdfxy"(x，y)dy=∫abfx’(x,y)|cddx =∫ab[fx’(x，d)一fx’(x，c)]dx =f(x，d)|ab—f(x，c)|ab =f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)． 同理， [*]=∫cddy∫abfyx"(x,y)dx=f(b，d)一f(b，d)+f(a，c)一f(b，c)? 结论成立． (2)用反证法． 设[*]P0(x0，y0)∈D，有fxy"(x0，y0)≠fyx"(x0，y0)． 不妨设fxy"(x0，y0)一fyx"(x0，y0)＞0，由于 [*] 当P(x，y)∈U(P0，δ)时有fxy"(x，y)一fyx"(x，y)＞ε0． [*]
解析
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考研数学二

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