设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当a=______,b=________时,统计量X服从χ2分布的自由度为__________.

admin2019-05-08  41

问题 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当a=______,b=________时,统计量X服从χ2分布的自由度为__________.

选项

答案a=1/20;b=1/100;2

解析 解一  因X1,X2,X3,X4为正态总体的简单随机样本,故X1,X2,X3,X4相互独立,且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布:
    X1-2X2~N(0,5×22)=N(0,20),3X3-4X4~N(0,100),
            
    因独立,由命题3.6.1.1(2)知,
            

  
所以a=1/20,b=1/100,且X服从自由度为2的χ2分布.
    解二  由解一知X1-2X2~N(0,20),3X3-4X4~N(0,100),故
            
要使则20a=1,故
要使则100b=1,故
    因相互独立,故χ2(1)+χ2(1)=χ2(2),所以自由度为2.
    解三  因X服从χ2分布,且自由度为2,则必有
        
    注:命题3.6.1.1  (2)若Xi~χ2(ni)(i=1,2,…,k),且X1,X2,…,Xk相互独立,则
                 
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