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设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当a=______,b=________时,统计量X服从χ2分布的自由度为__________.
设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则当a=______,b=________时,统计量X服从χ2分布的自由度为__________.
admin
2019-05-08
71
问题
设X
1
,X
2
,X
3
,X
4
是来自正态总体N(0,2
2
)的简单随机样本,X=a(X
1
-2X
2
)
2
+b(3X
3
-4X
4
)
2
,则当a=______,b=________时,统计量X服从χ
2
分布的自由度为__________.
选项
答案
a=1/20;b=1/100;2
解析
解一 因X
1
,X
2
,X
3
,X
4
为正态总体的简单随机样本,故X
1
,X
2
,X
3
,X
4
相互独立,且X
1
-2X
2
与3X
3
-4X
4
都服从正态分布:
X
1
-2X
2
~N(0,5×2
2
)=N(0,20),
3X
3
-4X
4
~N(0,100),
因
与
独立,由命题3.6.1.1(2)知,
即
所以a=1/20,b=1/100,且X服从自由度为2的χ
2
分布.
解二 由解一知X
1
-2X
2
~N(0,20),3X
3
-4X
4
~N(0,100),故
要使
则20a=1,故
要使
则100b=1,故
因
相互独立,故χ
2
(1)+χ
2
(1)=χ
2
(2),所以自由度为2.
解三 因X服从χ
2
分布,且自由度为2,则必有
注:命题3.6.1.1 (2)若X
i
~χ
2
(n
i
)(i=1,2,…,k),且X
1
,X
2
,…,X
k
相互独立,则
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考研数学三
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