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  3. 已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。

已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。

admin2019-01-25  45
问题 已知函数f(x)二阶可导，且，则f(x)＝__________。
选项
答案[*]， C1,C2为任意常数
解析 本题考查变限积分求导和二阶非齐次微分方程求解。首先处理积分∫10f(tx)dt，在等式两端乘以x，令u＝tx，原式化为含变上限积分的等式；再通过对变形后的方程两边同时求导构造二阶微分方程；最后利-用二阶非齐次方程求解步骤求通解。
将所给的方程两端同乘以x可得

令u＝tx，上式变为
    两边同时对x求导，得微分方程f＂(x)－4f(x)＝e2x，即y＂－4y＝e2x。y＂－4y＝0的特征根为λ＝±2，因此对应齐次方程的通解为y＝C1e－2x＋C2e2x。
    设特解为y*＝Axe2x,代入y＂－4y＝e2x，解得，所以
   ，C1，C2为任意常数。
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考研数学三

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