设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且≠0,试证明:对任意的常数c,f(x,y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f’yy=0.

admin2017-07-26  48

问题 设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且≠0,试证明:对任意的常数c,f(x,y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f’yy=0.

选项

答案必要性:设f(x,y)=c是一直线,则必有 f(x,y)=ax+by+d(a、b、d均为常数), 从而f’x=a,f’y=b,f"xx=f"xy=f"yy=0,则 (f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f"yy=0. [*] 即(f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f"yy=0时,f(x,y)=c是一条直线.

解析 由于y=y(x)是线性函数的充分必要条件是:y’(x)=k(常数),进而y"(x)=0.
    设y=y(x)是方程f(x,y)=0所确定的隐函数,则只需证明:f(x,y)=c是一直线方程的充分必要条件是
   
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