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设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且≠0,试证明:对任意的常数c,f(x,y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f’yy=0.
设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且≠0,试证明:对任意的常数c,f(x,y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2.f"xx一2f’x.f’y.f"xy+(f’x)2.f’yy=0.
admin
2017-07-26
111
问题
设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且
≠0,试证明:对任意的常数c,f(x,y)=c为一直线的充分必要条件是(f’
y
)
2
.f"
xx
一2f’
x
.f’
y
.f"
xy
+(f’
x
)
2
.f’
yy
=0.
选项
答案
必要性:设f(x,y)=c是一直线,则必有 f(x,y)=ax+by+d(a、b、d均为常数), 从而f’
x
=a,f’
y
=b,f"
xx
=f"
xy
=f"
yy
=0,则 (f’
y
)
2
.f"
xx
一2f’
x
.f’
y
.f"
xy
+(f’
x
)
2
.f"
yy
=0. [*] 即(f’
y
)
2
.f"
xx
一2f’
x
.f’
y
.f"
xy
+(f’
x
)
2
.f"
yy
=0时,f(x,y)=c是一条直线.
解析
由于y=y(x)是线性函数的充分必要条件是:y’(x)=k(常数),进而y"(x)=0.
设y=y(x)是方程f(x,y)=0所确定的隐函数,则只需证明:f(x,y)=c是一直线方程的充分必要条件是
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