2. 考研
  3. [2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．

[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．

admin2019-05-10  82
问题 [2005年]  设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(    )．
选项 A、λ1≠0   
B、λ2≠0
C、λ1=0  
D、λ2=0
答案B
解析 所给向量为抽象向量组，其线性相关性常采用定义证明．因α1，α2线性无关，也可采用矩阵表示法证之(见命题2．3．2．2)．
因Aα1=λ1α1，Aα2=λ1α2，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2，故

由命题2．3．2．2知α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件为=λ2≠0．仅(B)入选．
解二  仅(B)入选．由题设有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2．设k1α1+k2A(α1+α2)=0．由k1α1+k2A(α1+α2)=(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0及α1，α2线性无关得到齐次方程组

由α1，A(α1+α2)线性无关k1=k2=0方程组①只有零解=λ2≠0．
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考研数学二

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