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[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．
[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．
admin
2019-05-10
89
问题
[2005年] 设λ
1
，λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，则α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )．
选项
A、λ
1
≠0
B、λ
2
≠0
C、λ
1
=0
D、λ
2
=0
答案
B
解析
所给向量为抽象向量组，其线性相关性常采用定义证明．因α
1
，α
2
线性无关，也可采用矩阵表示法证之(见命题2．3．2．2)．
因Aα
1
=λ
1
α
1
，Aα
2
=λ
1
α
2
，A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
，故
由命题2．3．2．2知α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充要条件为
=λ
2
≠0．仅(B)入选．
解二 仅(B)入选．由题设有Aα
1
=λ
1
α
1
，Aα
2
=λ
2
α
2
．设k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0．由k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=(k
1
+λ
1
k
2
)α
1
+λ
2
k
2
α
2
=0及α
1
，α
2
线性无关得到齐次方程组
由α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关
k
1
=k
2
=0
方程组①只有零解
=λ
2
≠0．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KjV4777K
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考研数学二
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