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证明不等式:当a≥0,b≥0时,ea+b≥(e2/4)(a2+b2)。
证明不等式:当a≥0,b≥0时,ea+b≥(e2/4)(a2+b2)。
admin
2021-04-16
57
问题
证明不等式:当a≥0,b≥0时,e
a+b
≥(e
2
/4)(a
2
+b
2
)。
选项
答案
所证不等式即当a≥0,b≥0时,(a
2
+b
2
)e
2-a-b
≤4,记D={(x,y)|x≥0,y≥0},即证当(x,y)∈D时,f(x,y)=(x
2
+y
2
)e
2-x-y
≤4恒成立。 在区域D内,令 [*] 解得(x,y)=(1,1),此时有f(1,1)=2,在D的边界上,即当y=0或x=0时,令 [*]=(2x-x
2
)e
2-x
=0,或 [*]=(2y-y
2
)e
2-y
=0,解得(x,y)=(0,0)或(2,0)或(0,2),此时有f(0,0)=0,f(2,0)=f(0,2)=4,综上,当x≥0,y≥0时,f(x,y)的最大值为4,即得所证。
解析
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考研数学三
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