设f(x,y)=(x一6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数g(x,y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤25)上的最大值与最小值.

admin2017-12-18  28

问题 设f(x,y)=(x一6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数g(x,y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤25)上的最大值与最小值.

选项

答案函数f(x,y)的梯度为gradf(x,y)={y+8,x一6}, [*]=gradf.{cosα,cosβ}=gradf.e=|gradf|cosθ, 其中e为射线对应的单位向量,θ为梯度与射线的夹角, [*] 令H(x,y)=(x一6)2+(y+8)2, 当x2+y2<25时,因为[*]在x2+y2<25内无解,所以H(x,y)的最大值与最小值在区域D的边界上取到. 当x2+y2=25, 令F(x,y,λ)=(x一6)2+(y+8)2+λ(x2+y2一25), [*] 因为H(3,一4)=25,H(一3,4)=225,所以g(x,y)在区域D上的最大值和最小值分别为15和5.

解析
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