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已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ξ)=1.
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ξ)=1.
admin
2017-04-24
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问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ξ)=1.
选项
答案
(Ⅰ)令g(x)=f(x) +x一1,则g(x)在[0,1]上连续,且 g(0)=一1<0,g(1)=1>0 所以存在ξ∈(0,1),使得 g(ξ)=f(ξ)+ξ一1=0 即 f(ξ)=1一ξ (Ⅱ)根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,ξ),ξ∈(ξ,1),使得 [*]
解析
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考研数学二
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