设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),且f(x)在[a,b]上不恒为常数.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)>0,f’(η)<0.

admin2022-10-12  44

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),且f(x)在[a,b]上不恒为常数.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得f’(ξ)>0,f’(η)<0.

选项

答案因为f(x)在[a,b]上不恒为常数且f(a)=f(b),所以存在c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。不妨设f(c)>f(a)=f(b),由微分中值定理,存在ξ∈(a,c),η∈(c,b),使得f’(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0,f’(η)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0.

解析
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