2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

admin2022-10-12  73
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．
选项
答案因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)。不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得f’(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)＞0，f’(η)=[f(b)-f(c)]/(b-c)＜0．
解析
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考研数学三

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