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  3. (15)设矩阵A=相似于矩阵B= (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

(15)设矩阵A=相似于矩阵B= (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2018-08-01  35
问题 (15)设矩阵A=相似于矩阵B=
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由于矩阵A与B相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a+3=b+2，2a-3=b 解得 a=4，b=5． (Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式： ｜λE-A｜=｜λE-B｜=(λ-1)2(λ-5) 由此得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5 对于λ1=λ2=1，解方程组(E-A)x=0，有 [*] 得对应于λ1=λ2=1的线性无关特征向量ξ1=[*]，ξ2=[*] 对于λ3=5，解方程组(5E-A)x=0，由 [*] 得对应于λ3=5的特征向量ξ3=[*] 令矩阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]=[*] 则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得 P-1AP=[*]为对角矩阵．
解析
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考研数学二

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