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设二维随机变量(U,V)~N(2,2;4,1;),记X=U一bV,Y=V. (Ⅰ)问当常数b为何值时,X与Y独立? (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
设二维随机变量(U,V)~N(2,2;4,1;),记X=U一bV,Y=V. (Ⅰ)问当常数b为何值时,X与Y独立? (Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
admin
2017-08-28
62
问题
设二维随机变量(U,V)~N(2,2;4,1;
),记X=U一bV,Y=V.
(Ⅰ)问当常数b为何值时,X与Y独立?
(Ⅱ)求(X,Y)的密度函数f(x,y).
选项
答案
(Ⅰ)由于X=U—bV,Y=V,且[*]=1≠0,故(X,y)服从二维正态分布,所以X与Y独立等价于X与Y不相关,即Coy(X,Y)=0,从而有 Cov(U一bV,V)=0,Cov(U,V)一bDV=0,[*]一b.1=0, 解得b=1,即当b=1时,X与Y独立. (Ⅱ)由正态分布的性质知X=U—V服从正态分布,且 EX=EU—EV=2—2=0, DX=D(U—V)=DU+DV一2Cov(U,V)=4+1—2.[*]=3, 所以X~N(0,3),同理Y=V~N(2,1). 又因为X与Y独立,故 [*]
解析
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考研数学一
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