设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；)，记X=U一bV，Y=V． (Ⅰ)问当常数b为何值时，X与Y独立? (Ⅱ)求(X，Y)的密度函数f(x，y)．

admin2017-08-28 73

问题设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；

)，记X=U一bV，Y=V．
(Ⅰ)问当常数b为何值时，X与Y独立?
(Ⅱ)求(X，Y)的密度函数f(x，y)．

选项

答案(Ⅰ)由于X=U—bV，Y=V，且[*]=1≠0，故(X，y)服从二维正态分布，所以X与Y独立等价于X与Y不相关，即Coy(X，Y)=0，从而有 Cov(U一bV，V)=0，Cov(U，V)一bDV=0，[*]一b.1=0，解得b=1，即当b=1时，X与Y独立． (Ⅱ)由正态分布的性质知X=U—V服从正态分布，且 EX=EU—EV=2—2=0， DX=D(U—V)=DU+DV一2Cov(U，V)=4+1—2.[*]=3，所以X～N(0，3)，同理Y=V～N(2，1)．又因为X与Y独立，故 [*]

解析

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考研数学一

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