设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0.证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b).

admin2022-08-19 54

问题设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0.证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b).

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a+b)，使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ₂)-f′(ξ₁)]a. 因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f′(ξ₂)＜f′(ξ₂)，故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ₂)-f′(ξ₁)a＞0，即 f(a+b)＞f(a)+f(b).

解析

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考研数学三

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求微分方程dx-xdy=0满足初始条件y(1)=0的解．
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