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设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f″(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f″(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
admin
2022-08-19
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问题
设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f″(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
选项
答案
不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ξ
1
∈(0,a),ξ
2
∈(b,a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ
2
)-f′(ξ
1
)]a. 因为f″(x)>0,所以f′(x)单调增加,而ξ
1
<ξ
2
,所以f′(ξ
2
)<f′(ξ
2
), 故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f′(ξ
2
)-f′(ξ
1
)a>0,即 f(a+b)>f(a)+f(b).
解析
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考研数学三
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