求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．

admin2018-09-25 46

问题求微分方程y’’+2y’+2y=

的通解．

选项

答案先用三角公式将自由项写成e^－x+e^－xcos x，然后再用叠加原理和待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 y=(C₁cos x+C₂sin x)e^－x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项e^－x，e^－xcos x，分别考虑 y’’+2y’+2y=e^－x， ① 与 y’’+2y’+2y=e^－xcos x． ② 对于①，令 y₁^*=Ae^－x，代入可求得A=1，从而得y₁^*=e^－x．对于②，令 y₂^*=xe^－x(Bcos x +Csin x)，代入可求得B=0，[*]，从而得y₂^*=[*]xe^－xsin x．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y₁^*+y₂^*=e^－x(C₁cos x+C₂sin x)+e^－x+[*]xe^－xsin x，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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