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设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程组AX=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2为任意常数,求A及A100.
设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程组AX=b有通解k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,一2]T,其中k1,k2为任意常数,求A及A100.
admin
2016-11-03
70
问题
设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]
T
,方程组AX=b有通解k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
+[1,2,一2]
T
,其中k
1
,k
2
为任意常数,求A及A
100
.
选项
答案
由题设知α
1
=[一2,1,0]
T
与α
2
=[2,0,1]
T
为AX=0的基础解系,即有 Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
, 于是0为A的二重特征值,α
1
与α
2
为对应于λ
1
=λ
2
=0的特征向量,又β=[1,2,一2]
T
为其特解,故 [*] 于是λ
3
=9为A的另一个特征值,β为其对应于λ
3
=9的特征向量.易看出α
1
与α
2
线性无关(对应分量不成比例). 又β与α
1
,α
2
均线性无关,故α
1
,α
2
,β线性无关.所以A有3个线性无关的特征向量,必与对角矩阵[*]=diag(0,0,9)相似,取P=[α
1
,α
2
,β],则 P
-1
AP=[*], 即 [*] 注意到 [*] 其中η=[1,2,一2]
T
,则η
T
η=9, A
2
=A.A=ηη
T
.ηη
T
=η(η
T
η)η
T
=9ηη
T
=9A,…,A
100
=9
99
A. 或 A
100
=(P[*]p
-1
[*]
解析
为求A及A
100
,必须先建立A及A
100
的一个等式.常利用对角相似建立之.为此先设法求出A的特征值或特征向量,证明A必与对角矩阵相似.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YXu4777K
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