2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程组AX=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2为任意常数，求A及A100．

设A是三阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程组AX=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2为任意常数，求A及A100．

admin2016-11-03  71
问题 设A是三阶矩阵，b=[9，18，－18]T，方程组AX=b有通解k1[－2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，一2]T，其中k1，k2为任意常数，求A及A100．
选项
答案由题设知α1=[一2，1，0]T与α2=[2，0，1]T为AX=0的基础解系，即有 Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2， 于是0为A的二重特征值，α1与α2为对应于λ1=λ2=0的特征向量，又β=[1，2，一2]T为其特解，故 [*] 于是λ3=9为A的另一个特征值，β为其对应于λ3=9的特征向量．易看出α1与α2线性无关(对应分量不成比例)． 又β与α1，α2均线性无关，故α1，α2，β线性无关．所以A有3个线性无关的特征向量，必与对角矩阵[*]=diag(0，0，9)相似，取P=[α1，α2，β]，则 P－1AP=[*]， 即 [*] 注意到 [*] 其中η=[1，2，一2]T，则ηTη=9， A2=A.A=ηηT.ηηT=η(ηTη)ηT=9ηηT=9A，…，A100=999A． 或 A100=(P[*]p－1 [*]
解析 为求A及A100，必须先建立A及A100的一个等式．常利用对角相似建立之．为此先设法求出A的特征值或特征向量，证明A必与对角矩阵相似．
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考研数学一

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