首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫01f(x)dx.
admin
2016-12-16
60
问题
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为f’(x)在[0,1]上连续,所以函数f’(x)在[0,1]上有最值, 设其最大值与最小值分别为M和m,即有 m≤f’(x)≤M,x∈[0,1]. 又由拉格朗日中值定理有 f(x)=f(x)一f(0)=xf’(ξ), 则 2∫
0
1
f(x)dx=2∫
0
1
xf’(ξ)dx, ① 因m≤f’(ξ)≤M,故 a≤xf’(ξ)≤xM(因z>0), 所以 2mx≤2xf’(ξ)≤2xM, 因而 2m∫
0
1
xdx≤2∫
0
1
xf’(ξ)dx≤2M∫
0
1
xdx, 即 m≤2∫
0
1
xf’(ξ)dx≤M, 由式①得到 m≤2∫
0
1
f(x)dx≤M. 对f’(x)使用介值定理,得到至少存在一点η∈[0,1],使 f’(η)=2∫
0
1
f(x) dx.
解析
因f’(x)在[0,1]上连续,如能证明2∫
0
1
f(x)如在函数f’(x)的最大值与最小值之间,对f’(x)在[0,1]上使用介值定理,问题得证.为要产生导数f’(η),注意到f(0)=0,可先使用拉格朗日中值定理.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L6H4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求下列函数的所有二阶偏导数:
讨论下列级数在指定的区间内是否一致收敛
设有一物质曲线Γ,在点(x,y,z)处它的线密度为μ(x,y,z),用第一类曲线积分分别表示:(1)该物质曲线关于x轴与y轴的转动惯量;(2)该物质曲线对位于线外点Mo(xo,yo,zo)处的单位质点的引力.
设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则
求f(x)的值域.
设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1=0,Aα2=2α1+α2,则A的非零特征值为________.
已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解,则φ(x/y)的表达式为
方程yy〞=1+yˊ2满足初始条件y(0)=1,yˊ(0)=O的通解为________.
设f(x,y)为区域D内的函数,则下列各种说法中不正确的是().
设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零.X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本.求θ的最大似然估计量.
随机试题
2011年3月至5月,甲上市公司发生的交易性金融资产业务如下:(1)3月2日,购入A上市公司股票100万股,每股6元,另发生相关的交易费用2万元,并将该股票划分为交易性金融资产。(2)3月31日,该股票在证券交易所的收盘价格为每股5.70元。(3)4
麦门冬汤中重用麦冬的主要意义是
对疑为膀胱原位癌的患者,留取尿液标本最好的方法是
IUGR终止妊娠的指征为
应收账款给企业带来的经济损失有可能的坏账损失、收账费用和( )。
【背景资料】某市政工程,合同总工期为10个月,施工单位根据施工方案绘制网络计划图如下图所示(单位为月)。【问题】如果施工中发生工期延误,欲对后续工作的持续时间压缩,应注意哪些?
对应于常用工具栏里“剪切”按钮的快捷键是( )。
信托市场的主体即为信托当事人。信托当事人包括()。Ⅰ.信托关系人Ⅱ.信托委托人Ⅲ.信托受托人Ⅳ.信托受益人
根据表格中的数据,下列说法正确的是()。
下列定义语句中,错误的是()。
最新回复
(
0
)