设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 .

admin2018-01-23  15

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得

选项

答案因为f(x)在(a,b)内二阶可导,所以有 [*] 两式相加得f(a)+f(b)-2f[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]. 因为f’’(x)在(a,b)内连续,所以f’’(x)在[ξ1,ξ1]上连续,从而f’’(x)在[ξ1,ξ2]上取到最 小值m和最大值M,故m≤[*]≤M, 由介值定理,存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](a,b),使得[*]=f’’(ξ), 故f(a)+f(b)-2f[*].

解析
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