(2013年)设函数f(χ)=lnχ+. (Ⅰ)求f(χ)的最小值; (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn+<1.证明存在,并求此极限.

admin2016-05-30  38

问题 (2013年)设函数f(χ)=lnχ+
    (Ⅰ)求f(χ)的最小值;
    (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn<1.证明存在,并求此极限.

选项

答案(Ⅰ)f′(χ)=[*],令f′(χ)=0,解得f(χ)的唯一驻点χ=1. 又f〞(1)=[*]=1>0,故f(1)=1是唯一极小值,即最小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果知lnχ+[*]≥1,从而有 [*] 于是χn≤χn+1,即数列{χn}单调增加. 又由lnχn+[*]<1,知lnχn<1,得χn<e. 从而数列{χn}单调增加,且有上界,故[*]χn存在. 记[*]χn=a,可知a≥χ1>0. 在不等式lnχn+[*]<1两边取极限,得lna+[*]≤1. 又lna+[*]≥1,故lna+[*]=1,可得a=1,即[*]=1.

解析
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