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(2013年)设函数f(χ)=lnχ+. (Ⅰ)求f(χ)的最小值; (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn+<1.证明存在,并求此极限.
(2013年)设函数f(χ)=lnχ+. (Ⅰ)求f(χ)的最小值; (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn+<1.证明存在,并求此极限.
admin
2016-05-30
60
问题
(2013年)设函数f(χ)=lnχ+
.
(Ⅰ)求f(χ)的最小值;
(Ⅱ)设数列{χ
n
}满足lnχ
n
+
<1.证明
存在,并求此极限.
选项
答案
(Ⅰ)f′(χ)=[*],令f′(χ)=0,解得f(χ)的唯一驻点χ=1. 又f〞(1)=[*]=1>0,故f(1)=1是唯一极小值,即最小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果知lnχ+[*]≥1,从而有 [*] 于是χ
n
≤χ
n+1
,即数列{χ
n
}单调增加. 又由lnχ
n
+[*]<1,知lnχ
n
<1,得χ
n
<e. 从而数列{χ
n
}单调增加,且有上界,故[*]χ
n
存在. 记[*]χ
n
=a,可知a≥χ
1
>0. 在不等式lnχ
n
+[*]<1两边取极限,得lna+[*]≤1. 又lna+[*]≥1,故lna+[*]=1,可得a=1,即[*]=1.
解析
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考研数学二
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