2. 考研
  3. (2013年)设函数f(χ)＝lnχ＋． (Ⅰ)求f(χ)的最小值； (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn＋＜1．证明存在，并求此极限．

(2013年)设函数f(χ)＝lnχ＋． (Ⅰ)求f(χ)的最小值； (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn＋＜1．证明存在，并求此极限．

admin2016-05-30  99
问题 (2013年)设函数f(χ)＝lnχ＋．
    (Ⅰ)求f(χ)的最小值；
    (Ⅱ)设数列{χn}满足lnχn＋＜1．证明存在，并求此极限．
选项
答案(Ⅰ)f′(χ)＝[*]，令f′(χ)＝0，解得f(χ)的唯一驻点χ＝1． 又f〞(1)＝[*]＝1＞0，故f(1)＝1是唯一极小值，即最小值． (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果知lnχ＋[*]≥1，从而有 [*] 于是χn≤χn+1，即数列{χn}单调增加． 又由lnχn＋[*]＜1，知lnχn＜1，得χn＜e． 从而数列{χn}单调增加，且有上界，故[*]χn存在． 记[*]χn＝a，可知a≥χ1＞0． 在不等式lnχn＋[*]＜1两边取极限，得lna＋[*]≤1． 又lna＋[*]≥1，故lna＋[*]＝1，可得a＝1，即[*]＝1．
解析
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考研数学二

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